Question

【題目】已知函數(shù) ，其中a為常數(shù)．
（1）若a=1，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù) 在其定義域上是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時， ，其定義域為R．

此時對任意的x∈R，都有

所以函數(shù)f（x）在其定義域上為奇函數(shù)

（2）解：若函數(shù) 在其定義域上是奇函數(shù)，則對定義域內的任意x，

有：

整理得：a2e2x﹣1=e2x﹣a2，即：e2x（a2﹣1）=1﹣a2對定義域內的任意x都成立．

所以a2=1

當a=1時， ，定義域為R；

當a=﹣1時， ，定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

所以實數(shù)a的值為a=1或a=﹣1．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷．（2）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程關系進行求解即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；在公共定義域內，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．