Question

已知函數(shù)f(x)＝ax＋ln x，g(x)＝e^x.
(1)當a≤0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式g(x)< 有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）當a＝0時，f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增；當a<0時，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）(－∞，0)

(1)f(x)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝a＋ (x>0)
①當a＝0時，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增；
②當a<0時，由f′(x)＝0，解得x＝－，
則當x∈時，f′(x)>0，∴f(x)單調(diào)遞增，
當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，綜上所述：當a＝0時，f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增；當a<0時，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
(2)由題意：e^x<有解，即e^x<x－m有解，因此只需m<x－e^x，x∈(0，＋∞)有解即可，設h(x)＝x－e^x，h′(x)＝1－e^x－＝1－e^x，因為：＋≥2＝>1，且x∈(0，＋∞)時e^x>1，所以：1－e^x<0，即h′(x)<0.
故h(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，
∴h(x)<h(0)＝0，∴m<0.
故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，0)．