Question

已知函數f（x）=|x|，
（1）解不等式f（x-1）≤2x；
（2）若不等式f（x+1）+f（2x）≤

1

a

+

1

(1-a)

對任意a∈（0，1）恒成立，求x取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）不等式即|x-1|≤2x，可得

2x≥0 -2x≤x-1≤2x

，由此求得不等式的解集．
（2）由題意可得|x+1|+|2x|≤

1

a

+

1

(1-a)

對任意a∈（0，1）恒成立．利用基本不等式求得

1

a

+

1

(1-a)

=

1

a(1-a)

≥4，可得|x+1|+|2x|≤4，故有

x＜-1 -x-1-2x≤4

①，或

-1≤x＜0 x+1-2x≤4

②，或

x≥0 x+1+2x≤4

③．
分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）不等式f（x-1）≤2x，即|x-1|≤2x，∴

2x≥0 -2x≤x-1≤2x

．
解得 x≥

1

3

，故不等式的解集為{x|x≥

1

3

}．
（2）若不等式f（x+1）+f（2x）≤

1

a

+

1

(1-a)

對任意a∈（0，1）恒成立，
即|x+1|+|2x|≤

1

a

+

1

(1-a)

對任意a∈（0，1）恒成立．
由于

1

a

+

1

(1-a)

=

1

a(1-a)

≥

1

[ a+(1-a) 2 ]2

=4，
∴|x+1|+|2x|≤4，∴

x＜-1 -x-1-2x≤4

 ①，或

-1≤x＜0 x+1-2x≤4

 ②，或

x≥0 x+1+2x≤4

③．
解①求得-

5

3

＜x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得0≤x≤1，
綜上可得，x取值范圍為[-

5

3

，1]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，基本不等式的應用，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．