Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線(xiàn)：的距離的比是.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知定點(diǎn)，若，是軌跡上兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，且，試判斷直線(xiàn)的斜率是否為定值，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）斜率為定值，該值為1.

【解析】

(1)由動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線(xiàn)：的距離的比是，可得方程，化簡(jiǎn)可得的軌跡的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為,可得所以直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為. 設(shè)點(diǎn)，，由，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,可得的值，的值，可得直線(xiàn)的斜率為定值.

解：（1）設(shè)是點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離，依題意可得，

點(diǎn)的軌跡就是集合：，

由此得，

將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)得，

即點(diǎn)的軌跡方程是.

（2）因?yàn)?/span>，

設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為.

所以直線(xiàn)的方程為，

直線(xiàn)的方程為.

設(shè)點(diǎn)，，由，

得 （1）

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以是方程（1）的一個(gè)根，

則，所以.

同理，所以，.

又，

所以直線(xiàn)的斜率，

所以直線(xiàn)的斜率為定值，該值為1.