已知圓過定點，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點．
（1）當圓心是拋物線的頂點時，求拋物線準線被該圓截得的弦長．
（2）當圓心在拋物線上運動時，是否為一定值？請證明你的結論．
（3）當圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值，并求出此時圓的方程．
（1）；（2）是定值，為2；（3）取得最大值，此時圓的方程為．

試題分析：（1）這是關于圓的基本計算問題，圓心是拋物線的頂點，又圓過點，可得圓半徑為，就得出了圓的方程，拋物線的準線為，與圓相交弦長可用直角三角形法求解，弦心距，弦的一半，相應半徑可構成一個直角三角形，應用勾股定理易得；（2）圓心在拋物線上運動，可設圓心坐標為，與（1）同法可得弦長，當然本題中弦在軸上，故可在圓方程中令，求出，也即求出為定值；（3）根據(jù)圓的性質(zhì)，由（2）可得兩點的坐標為，這樣就可用來表示，可求得，時，有，時，利用基本不等式有，從而（當且僅當，即時等號成立），故所求最大值為．
試題解析：（1）拋物線的頂點為，準線方程為，圓的半徑等于1，圓的方程為．弦長         4分
（2）設圓心，則圓的半徑，
圓的方程是為：    6分
令，得，得，，
是定值．      8分
（3）由（2）知，不妨設，，，．
．      11分
當時，．      12分
當時，．
當且僅當時，等號成立          14分
所以當時，取得最大值，此時圓的方程為．
16分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設點是橢圓在第一象限上的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點,設直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個定值；
（III）在第(Ⅱ)問的條件下，作，設交于點，
證明:當點在橢圓上移動時，點在某定直線上.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知點及直線，曲線是滿足下列兩個條件的動點的軌跡：①其中是到直線的距離；②
(1) 求曲線的方程;
(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點，求橢圓離心率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，且，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
(1)求橢圓方程；
(2)設橢圓與直線相交于不同的兩點M、N，又點，當時，求實數(shù)m的取值范圍，

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點，設兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1＋k2＝2，證明：直線AB過定點(―1,―1)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關于直線對稱，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓的左、右頂點分別為、，離心率．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且，求直線MN的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為2，若
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）直線與橢圓交于兩點，若弦的中點為，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

直線與曲線的交點個數(shù)是      ．

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