Question

已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關(guān)于直線對稱，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）對稱

試題分析：（Ⅰ）由圓方程可知圓心為，即，又因為離心率為，可得，根據(jù)橢圓中關(guān)系式，可求。橢圓方程即可求出。因為，則右頂點為，將其代入圓的方程可求半徑。（Ⅱ）由橢圓方程可知，將代入橢圓方程可得�？傻�，設(shè)直線，然后和橢圓方程聯(lián)立，消掉y（或x）得到關(guān)于x的一元二次方程。再根據(jù)韋達定理得出根與系數(shù)的關(guān)系。可得兩直線的斜率。當(dāng)直線是否關(guān)于直線對稱時兩直線傾斜角互補，所以斜率互為相反數(shù)。把求得的兩直線斜率相加若為0，則說明兩直線對稱。否則不對稱。
試題解析：（Ⅰ）由題意得,                      1分
由可得,                         2分
所以,                           3分
所以橢圓的方程為.                     4分
（Ⅱ）由題意可得點,                 6分
所以由題意可設(shè)直線,.            7分
設(shè)，
由得.
由題意可得,即且.        8分
.          9分
因為           10分

，          13分
所以直線關(guān)于直線對稱.                  14分