Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，為棱上的點(diǎn)，，.

（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）在第（2）問(wèn)條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)N在線段CD上，且．

【解析】

（1）取線段SC的中點(diǎn)E，根據(jù)中位線定理即可證明，因而得到AMED為平行四邊形，即可證明平面SCD．

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，因而可以求得平面AMC和平面SAB的法向量，利用法向量的數(shù)量積求得平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦值即可。

（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線與平面夾角的正弦值即為直線與平面法向量夾角的余弦值即可求得的表達(dá)式；根據(jù)基本不等式成立的條件，求得N點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷出N點(diǎn)的位置。

（1）證明：取線段SC的中點(diǎn)E，連接ME，ED．

在中，ME為中位線，∴，

∵，

∴，

∴四邊形AMED為平行四邊形．

∴．

∵平面SCD，平面SCD，

∴平面SCD．

（2）解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS為x軸、y軸、z軸，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

由條件得M為線段SB近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

于是，即

設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為，則，

將坐標(biāo)代入得，

另外易知平面SAB的一個(gè)法向量為，

所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為．

（3）設(shè)，其中．

由于，所以．

所以，

可知當(dāng)，即時(shí)分母有最小值，此時(shí)有最大值，

此時(shí)，，即點(diǎn)N在線段CD上且．