Question

A、B兩地相距1千米，B、C兩地相距3千米，甲從A地出發(fā)，經(jīng)過(guò)B前往C地，乙同時(shí)從B地出發(fā)，前往C地，甲、乙的速度關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式分別為v₁（t）=

4

t+1

和v₂（t）=t（單位：千米/小時(shí)）．甲、乙從起點(diǎn)到終點(diǎn)的過(guò)程中，給出下列描述：
①出發(fā)后1小時(shí)，甲還沒(méi)追上乙；
②出發(fā)后1小時(shí)，甲乙相距最遠(yuǎn)；
③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到達(dá)C地；
④甲追上乙后，先到達(dá)C地．
其中正確的是

 

．（請(qǐng)?zhí)钌纤�有描述正確的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：依據(jù)速度寫(xiě)出路程函數(shù)，再由函數(shù)性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用對(duì)描述的命題判斷真假即可．

解答： 解：經(jīng)過(guò)x小時(shí)，甲、乙走過(guò)的路程分別為：
S₁=

∫

x 0

4

t+1

dt=4ln（x+1），
S₂=

∫

x 0

tdt=

x2

2

，
（1）當(dāng)x=1時(shí)，S₁=4ln（1+1）=4ln2，1+S₂=1+

1

2

=

3

2

，
由于4ln2＞

3

2

，則S₁＞1+S₂；
（2）設(shè)F（x）=S₁-1-S₂=4ln（x+1）-1-

x2

2

（x＞0），
則F′（x）=

4

x+1

-x=

-x2-x+4

x+1

（x＞0），
若令F′（x）＞0，則-x²-x+4＞0，解得0＜x＜

-1+ 17

2

，
則函數(shù)F（x）=S₁-1-S₂在（0，

-1+ 17

2

）上遞增，在（

-1+ 17

2

，e-1）上遞減，
故出發(fā)后

-1+ 17

2

小時(shí)，甲乙相距最遠(yuǎn)；
（3）令4ln（x+1）=4，解得x=e-1，
令

x2

2

=3，解得x=

6

，
故甲追上乙后，先到達(dá)C地．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于較難的題目．