Question

對于函數(shù)f(x)=cos2(x-

π

12

)+sin2(x+

π

12

)-1，下列選項(xiàng)中正確的是（　　）

• A、f(x)在(

  π

  4

  ，

  π

  2

  )內(nèi)是遞增的
• B、f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
• C、f（x）的最小正周期為2π
• D、f（x）的最大值為1

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的對稱性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：函數(shù)f（x）解析式前兩項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后得到一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，周期性，以及值域，即可做出判斷．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

1

2

[1+cos（2x-

π

6

）+1-cos（2x+

π

6

）]-1
=

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）
=

1

2

sin2x，
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的遞增區(qū)間為[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，k∈Z，
當(dāng)x∈（

π

4

，

π

2

）時(shí)，2x∈（

π

2

，π），此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，選項(xiàng)A錯誤；
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，且正弦函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，選項(xiàng)B正確；
∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

3

=π，選項(xiàng)C錯誤；
∵-1≤sin2x≤1，
∴f（x）=

1

2

sin2x的最大值為

1

2

，選項(xiàng)D錯誤，
故選：B．

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的對稱性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．