Question

如圖，過圓E外一點A作一條直線與圓E交于B，C兩點，且AB=

1

3

AC，作直線AF與圓E相切于點F，連結(jié)EF交BC于點D，已知圓E的半徑為2，∠EBC=30°
（1）求AF的長；
（2）求證：AD=3ED．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（1）延長BE交圓E于點M，連結(jié)CM，則∠BCM=90°，由已知條件求出AB，AC，再由切割線定理能求出AF．
（2）過E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能夠證明AD=3ED．

解答： （1）解：延長BE交圓E于點M，連結(jié)CM，則∠BCM=90°，
∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴BC=2

3

，
又∵AB=

1

3

AC，∴AB=

1

2

BC=

3

，∴AC=3

3

，
根據(jù)切割線定理得AF2=AB•AC=

3

×3

3

=9，即AF=3
（2）證明：過E作EH⊥BC于H，
∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，
∴△EDH∽△ADF，
∴

ED

AD

=

EH

AF

，
又由題意知CH=

1

2

BC=

3

，EB=2，
∴EH=1，∴

ED

AD

=

1

3

，
∴AD=3ED．

點評：本題考查與圓有關(guān)的線段的求法，考查兩條線段間數(shù)量關(guān)系的證明，是中檔題，解題時要注意切割線定理的合理運(yùn)用．