Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcos（x+

π

3

）+

3

4

．
（Ⅰ）當x∈[-

π

3

，

π

6

]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="vmr70qr" class="MathJye">

1

2

倍，縱坐標保持不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的表達式及對稱軸方程．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)-

π

3

≤x≤

π

6

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，從而求得它的對稱軸方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcos（x+

π

3

）+

3

4

=sinx（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

•

1-cos2x

2

+

3

4

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x+

π

3

）．
∵-

π

3

≤x≤

π

6

，故-

π

3

≤2x+

π

3

≤

2π

3

，
∴-

3

2

sin（2x+

π

3

）≤1，
∴f（x）∈[-

3

4

，

1

2

]．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位后，可得函數(shù)y=

1

2

sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=

1

2

sin（2x-

π

3

）的圖象；
再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="onl30id" class="MathJye">

1

2

倍，縱坐標保持不變，得到函數(shù)y=g（x）=

1

2

sin（4x-

π

3

）的圖象．
令4x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，求得x=

kπ

4

+

5π

24

，
故函數(shù)g（x）的圖象的對稱軸方程為x=

kπ

4

+

5π

24

，k∈Z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．