Question

已知函數(shù)f(x)=-2sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先通過兩角和公式對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，得f（x）=2sin（2x+

π

6

），根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和對稱性可的f（x）的最小正周期及對稱中心．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性及x的取值范圍進(jìn)而求得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
令sin(2x+

π

6

)=0，則x=

kπ

2

-

π

12

(k∈Z)，
∴f（x）的對稱中心為(

kπ

2

-

π

12

，0)，(k∈Z)；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴-1≤f（x）≤2
∴當(dāng)x=-

π

6

時，f（x）的最小值為-1；
當(dāng)x=

π

6

時，f（x）的最大值為2．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性等性質(zhì)是近幾年高考的重點(diǎn)，平時應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．