Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為
F，G．
（1）求證

EG

AD

=

CG

CD

；
（2）FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；
（3）當(dāng)AB=AC時，△FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：立體幾何

分析：（1）由比例線段可知，我們需要證明△ADC∽△EGC，由兩個角對應(yīng)相等即可證得；
（2）由矩形的判定定理可知，四邊形AFEG為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，從而不難得到結(jié)論；
（3）是，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答： 證明：（1）在△ADC和△EGC中，
∵∠ADC=∠EGC，∠C=∠C，
∴△ADC∽△EGC．
∴

EG

AD

=

CG

CD

．（3分）
解：（2）FD與DG垂直．（4分）
證明如下：
在四邊形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四邊形AFEG為矩形．
∴AF=EG．
∵

EG

AD

=

CG

CD

，
∴

AF

AD

=

CG

CD

．（6分）
又∵△ABC為直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD=∠C=90°-∠DAC，
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF=∠CDG．（8分）
∵∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°．
即∠FDG=90°．
∴FD⊥DG．（10分）
（3）當(dāng)AB=AC時，△FDG為等腰直角三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AD=DC．
∵△AFD∽△CGD，
∴

FD

GD

=

AD

DC

=1．
∴FD=DG．
∵∠FDG=90°，
∴△FDG為等腰直角三角形．（12分）

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等．