Question

函數(shù)f（x）=

3

sinωx•cosωx+sin²ωx+k，（ω＞0）．
（1）若f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，求ω的取值范圍；
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

6

]時，f（x）的最大值是

1

2

，求f（x）最小值，并說明如何由y=sin2x的圖象變換得到y(tǒng)=f（x）的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,單位圓與周期性,兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡f（x）為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，列出ω的不等式，即可求解ω的取值范圍；
（2）利用f（x）的最小正周期為π，求出ω，當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

6

]時，求出相位的范圍，通過f（x）的最大值是

1

2

，求出k，然后求解f（x）最小值，利用三角函數(shù)的平移變換說明由y=sin2x的圖象變換得到y(tǒng)=f（x）的圖象．

解答： （10分）
解：f（x）=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

+k
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

+k
=sin(2ωx-

π

6

)+k+

1

2

．（3分）
（1）由題意可知

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1．
又ω＞0，∴0＜ω≤1．（5分）
（2）∵T=

π

ω

=π，∴ω=1．∴f（x）=sin(2x-

π

6

)+k+

1

2

．
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]
從而當(dāng)2x-

π

6

=

π

6

，即x=

π

6

時，f_max（x）=f(

π

6

)=sin

π

6

+k+

1

2

=k+1=

1

2

，
∴k=-

1

2

，故f（x）=sin(2x-

π

6

)，
∴當(dāng)2x-

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

6

時f（x）取最小值-1（9分）
把y=sin2x的圖象向右平移

π

12

個單位得到y(tǒng)=sin(2x-

π

6

)的圖象． （10分）

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查計算能力．