Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足

Sn

n

=3n-2
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

3

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出S_n=3n²-2n，由此利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由a_n=6n-5，推導(dǎo)出bn=

3

anan+1

=

1

2

（

1

6n-5

-

1

6n+1

），由此利用裂項(xiàng)求出和法求出T_n=

1

2

（1-

1

6n+1

），再由

1

6n+1

＞0，能求出使得Tn＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足

Sn

n

=3n-2，
∴S_n=3n²-2n，
∴a₁=S₁=3-2=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]
=6n-5，
當(dāng)n=1時(shí)，6n-5=1=a₁，
∴a_n=6n-5．
（Ⅱ）∵a_n=6n-5，
∴bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

（

1

6n-5

-

1

6n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

）
=

1

2

（1-

1

6n+1

），
∵n∈N^*，∴

1

6n+1

＞0，
∴T_n=

1

2

（1-

1

6n+1

）＜

1

2

，
又∵T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立，
∴

m

20

≥

1

2

，解得m≥10．
∴使得Tn＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法及其應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．