Question

已知（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，n∈N^*，且2≤n≤7，則n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：要想使已知展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，需（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)、x^-1項(xiàng)、x^-2項(xiàng)，利用（x+

1

x3

）ⁿ的通項(xiàng)公式討論即可．

解答： 解：設(shè)（x+

1

x3

）ⁿ的通項(xiàng)公式為 T_r+1，則 T_r+1=

C

r n

•x^n-4r，2≤n≤7，
當(dāng)n=2時(shí)，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠2；
當(dāng)n=3時(shí)，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠3；
當(dāng)n=4時(shí)，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠4；
當(dāng)n=5時(shí)，r=0、1、2、3、4、5時(shí)，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開(kāi)式中都沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，
故n=5滿(mǎn)足題意；
當(dāng)n=6時(shí)，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠6；
當(dāng)n=7時(shí)，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故n≠7．
綜上所述，n=5時(shí)，滿(mǎn)足題意．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，突出考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題．