Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M（0，

3

），F(xiàn)為左焦點，且∠OFM=60°，O是坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P是橢圓上位于x軸上方的一點，且滿足PF⊥x軸．設A，B是橢圓C上的兩個動點，且

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓C的離心率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求△OAB面積的最大值，并求此時λ的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M（0，

3

），F(xiàn)為左焦點，且∠OFM=60°，求出幾何量，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）利用

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2），確定坐標之間的關(guān)系，點的坐標代入方程，利用點差法，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）設直線AB的方程與3x²+4y²=12聯(lián)立消去y并整理，求出|AB|、點O到直線AB的距離，從而可得△OAB的面積，利用基本不等式求最大值，即可得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M（0，

3

），
∴b=

3

，
∵∠OFM=60°，
∴tan60°=

b

c

=

3

，
∴c=1，
∴a²=4，
∴橢圓E的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：∵P是橢圓上位于x軸上方的一點，且滿足PF⊥x軸，
∴P（-1，

3

2

）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

PA

+

PB

=λ

PO

得（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ）…①…（5分）
又3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
兩式相減得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…．②
以①式代入可得AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

=

c

a

=e；
（Ⅲ）解：設直線AB的方程為y=

1

2

x+t，與3x²+4y²=12聯(lián)立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0，
△=3（4-t²）＞0，則2＜t＜2，x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-3
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+ 1 4

•

3(4-t2)

=

15

2

•

4-t2

，
點O到直線AB的距離為d=

2|t|

5

，
△OAB的面積為S=

1

2

|AB|×d=

3

2

•

4-t2

|t|=

3

2

•

(4-t2)t2

≤

3

2

•

4-t2+t2

2

=

3

當且僅當±

2

時，取得最大值

3

，
∴S的最大值為

9

2

．
此時x₁+x₂=-t=±

2

=λ-2，
∴λ=2±

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查點差法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，確定三角形的面積是關(guān)鍵．