Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的長軸為線段AB，點M是橢圓上不同于A，B的任意一點，
（1）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值；
（2）若直線MA，MB與直線x=3分別相交于C，D兩點，求證：以CD為直徑的圓過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)M（x₀，y₀），則

x02

4

+

y02

3

=1，由已知得A（-2，0），B（2，0），由此能證明k₁k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

3

4

，為定值．
（2）設(shè)直線MA：y₁=k₁（x+2），直線MB：y₂=k₂（x-2），由已知得C（3，5k₁），D（3，k₂），以CD為直徑的圓方程為（x-3）²+[y-

1

2

（5k₁+k₂）]²=

1

4

（5k₁-k₂）²，
化簡得 x²-6x+9+y²-（5k₁+k₂）y=-5k₁k₂=

15

4

，由此能證明以CD為直徑的圓過定點（3+

15

2

，0）和（3-

15

2

，0）．

解答： 證明：（1）設(shè)M（x₀，y₀），則

x02

4

+

y02

3

=1，
∴

y02

3

=1-

x02

4

=

4-x02

4

，
∴

y02

x02-4

=-

3

4

，
∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的長軸為線段AB，
∴A（-2，0），B（2，0），
∴k₁=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，
∴k₁k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

3

4

，
∴k₁k₂為定值-

3

4

．
（2）設(shè)直線MA：y₁=k₁（x+2），直線MB：y₂=k₂（x-2），
∵直線MA，MB與直線x=3分別相交于C，D兩點，
∴C（3，5k₁），D（3，k₂）
∴以CD為直徑的圓方程為（x-3）²+[y-

1

2

（5k₁+k₂）]²=

1

4

（5k₁-k₂）²，
化簡得 x²-6x+9+y²-（5k₁+k₂）y=-5k₁k₂=

15

4

，
∴以CD為直徑的圓過定點（3+

15

2

，0）和（3-

15

2

，0）．

點評：本題考查兩直線的斜率的乘積這定值的證明，考查圓過定點的證明，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．