Question

若存在正實(shí)數(shù)M，對(duì)于任意x∈（1，+∞），都有|f（x）|≤M，則稱函數(shù)f（x）在（1，+∞） 上是有界函數(shù)．下列函數(shù)：
①f（x）=

1

x-1

；   
②f（x）=

x

x2+1

；   
③f（x）=

lnx

x

；  
④f（x）=xsinx．
其中“在（1，+∞）上是有界函數(shù)”的序號(hào)為（　�。�

• A、②③
• B、①②③
• C、②③④
• D、③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的值域

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①求出函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），即可判斷；②先將f（x）變形，再應(yīng)用基本不等式求出最值，從而根據(jù)新定義加以判斷；③應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，求出極值，說明也為最值，再根據(jù)新定義判斷；④先判斷函數(shù)有無單調(diào)性，再運(yùn)用三角函數(shù)的有界性判斷即可．

解答： 解：①f（x）=

1

x-1

在（1，+∞）上是遞減函數(shù)，且值域?yàn)椋?，+∞），故①在（1，+∞）上不是有界函數(shù)；
②f（x）=

x

x2+1

（x＞1）即f（x）=

1

x+ 1 x

，由于x+

1

x

＞2（x＞1），0＜f（x）＜

1

2

，故|f（x）|＜

1

2

，故存在M=

1

2

，即f（x）在（1，+∞）上是有界函數(shù)；
③f（x）=

lnx

x

，導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，故x=e時(shí)取極大值，也為最大值且為

1

e

，故存在M=

1

e

，在（1，+∞）上有|f（x）|≤

1

e

，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是有界函數(shù)；
④f（x）=xsinx導(dǎo)數(shù)f′（x）=sinx+xcosx在（1，+∞）上不單調(diào)，且|f（x）|≤x，故不存在M，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上不是有界函數(shù)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的新定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，以及利用基本不等式和導(dǎo)數(shù)求最值的方法，是一道中檔題．