Question

【題目】已知a＞0，設(shè)p：實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2＜0，q：實數(shù)x滿足（x﹣3）2＜1．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣a）（x﹣3a）＜0

當a=1時，1＜x＜3，即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．

由（x﹣3）2＜1，得2＜x＜4，

即q為真時實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜4．

因為p∧q為真，所以p真且q真，

所以實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．

（2）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，

所以，p為真時實數(shù)x的取值范圍是a＜x＜3a．

因為p是q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件

所以a≤2且且4≤3a

所以實數(shù)a的取值范圍為： ．

【解析】（1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】利用復合命題的真假對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．