Question

【題目】已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)）．

（Ⅰ）若，求函數(shù)在處的切線方程．

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（）見(jiàn)解析（）．

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義， ， ，所以切線方程為；（2）求導(dǎo)得到，對(duì)進(jìn)行分類討論，得到單調(diào)區(qū)間；（3）由題意， ，在（2）的基礎(chǔ)上，進(jìn)行分類討論，得到．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ， ．

∴， ，

∴所求切線方程為．

（）．

令，則或，

當(dāng)時(shí)，令，則，令，則．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 恒成立．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，則或．

令，則．

當(dāng)即時(shí)，令，則或，

令，則．

綜上，當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．

（）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

∴的最小值為，

∴，

∴．

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增，

∴的最小值為．

∵，

∴， ，

∴，

∴．

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，

∴的最小值為．

∵，∴，

∴．

綜上可得．