Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x|+ ﹣1（x≠0）
（1）當m=1時，判斷f（x）在（﹣∞，0）的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）若對任意x∈（1，+∞），不等式 f（log2x）＞0恒成立，求m的取值范圍．
（3）討論f（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由當m=1，且x＜0時，f（x）=﹣x+ ﹣1是單調(diào)遞減的．

證明：設(shè)x1＜x2＜0，則

f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+ ﹣1﹣（﹣x2+ ﹣1）=x2﹣x1+ ﹣

=（x2﹣x1）﹣ =（x2﹣x1）（1+ ），

∵x1＜x2＜0，則x2﹣x1＞0，x1x2＞0，則有f（x1）﹣f（x2）＞0，

f（x1）＞f（x2）

則f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)

（2）

解：由 f（log2x）＞0得|log2x|+ ﹣1＞0，

當x∈（1，+∞），log2x＞0，

則不等式變形為（log2x）2﹣log2x+m＞0，

即m＞﹣（log2x）2+log2x，

而g（x）=﹣（log2x）2+log2x=﹣（log2x﹣ ）2+ ，

當log2x= ，即x= 時，g（x）取得最大值 ，

∴m＞ ．

（3）

解：由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0，變?yōu)閙=﹣x|x|+x，x≠0

令h（x）=x﹣x|x|=

作出函數(shù)h（x）的圖象及直線y=m，由圖象可得：

當m＞ 或m＜﹣ 時，f（x）有1個零點．

當m= 或m=0或m=﹣ 時，f（x）有2個零點；

當0＜m＜ 或﹣ ＜m＜0時，f（x）有3個零點．

【解析】（1）f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)．運用函數(shù)的單調(diào)性的定義加以證明，注意取值、作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟；（2）利用不等式恒成立，進行轉(zhuǎn)化求解即可，（3）利用函數(shù)與方程的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行討論即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識點，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．