Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝an2+2an，n∈N*.設(shè)bn＝（﹣1）nanan+1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則T2n＝_____.

Answer 1

【答案】8n（n+1）

【解析】

由數(shù)列的遞推式：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1；n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，化簡整理可得所求和.

數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝a2an，n∈N*.

可得n＝1時(shí)，4a1＝4S1＝a12+2a1，解得a1＝2，

n≥2時(shí)，4Sn﹣1＝an﹣12+2an﹣1，又4Sn＝an2+2an，

相減可得4an＝an2+2an﹣an﹣12﹣2an﹣1，

化為（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，

由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，

則an＝2+2（n﹣1）＝2n，

bn＝（﹣1）nanan+1＝（﹣1）n4n（n+1），

可得T2n＝4[﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣5×6+6×7﹣…﹣（2n﹣1）（2n）+（2n）（2n+1）]

＝4（2×2+2×4+2×6+…+2×2n）＝8n（2+2n）＝8n（n+1）.

故答案為：8n（n+1）.