Question

【題目】若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的任意兩項(xiàng)均不相等，且的定義域?yàn)?/span>；②數(shù)列的前的項(xiàng)的和對(duì)任意的都成立，則稱與具有“共生關(guān)系”．

（1）若，試寫(xiě)出一個(gè)與數(shù)列具有“共生關(guān)系”的函數(shù)的解析式；

（2）若與數(shù)列具有“共生關(guān)系”，求實(shí)數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合，并寫(xiě)出關(guān)于，，的表達(dá)式；

（3）若，求證：“存在每項(xiàng)都是正數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列，使得與具有‘共生關(guān)系’”的充要條件是“點(diǎn)在射線上”．

Answer 1

【答案】（1） （2）實(shí)數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合為，且，其中，. （3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1) 由，可知，從而可得.
(2) 由題意得,當(dāng)，可得，當(dāng)時(shí)，與的任意兩項(xiàng)均不相等相矛盾,故此時(shí)不合題意；當(dāng)，，不合題意，當(dāng)，也不合題意. 若，則，由，，可得，的任意兩項(xiàng)均不相等，故，可知，得出答案.
(3)先證必要性，若是公差的等差數(shù)列，，可得，故解得，再證充分性，若點(diǎn)在射線上，

即，可得，從而得證.

(1)由，可知

所以與數(shù)列具有“共生關(guān)系”的函數(shù)的解析式可以為：.

(2)由題意得，令，可得，即.

①若，此時(shí)不成立，不合題意，

若，由，可得，又，可得，與的任意兩項(xiàng)均不相等相矛盾,故此時(shí)不合題意.

②若，可得

若，則由與，可得，不合題意.

若，則，當(dāng)時(shí)，，不合題意.

若，則，由，

可得，即

此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，又的任意兩項(xiàng)均不相等，

故，可知

所以實(shí)數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合為，且，其中

(3)(必要性)若是公差的等差數(shù)列，且與具有“共生關(guān)系”.

則由，

可得:

故，即恒成立.

故解得

又由,可得,

由,可知

所以點(diǎn)在射線上.

(充分性)若點(diǎn)在射線上，則

又方程等價(jià)于，

且，取，它顯然是正數(shù)且滿足

令，則

，

故當(dāng)時(shí)，

這里無(wú)窮數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的無(wú)窮等差數(shù)列.

其中每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以存在每一項(xiàng)都是正數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列，使得與具有“共生關(guān)系”.