Question

已知函數(shù)f(x)=

a•3x+a-2

3x+1

．（a∈R）
（1）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？證明你的結論；
（2）用單調(diào)性定義證明：不論a取任何實數(shù)，函數(shù)f（x）在其定義域上都是增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)，可知f（0）=0可求a，即可
（2）先設x₁＜x₂，然后判斷f（x₁）-f（x₂）的正負，從而可判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，即可證明
（3）由已知可得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3），結合f（x）為奇函數(shù)及f（x）在R上是增函數(shù)可得3m²-m+1＜3-2m，解不等式即可求解

解答：解：（1）∵3^x＞0
3^x+1≠0函數(shù)f（x）的定義域為 R即（-∞，+∞）…（1分）
假設存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
由f（0）=0得

2a-2

3x+1

=0解得a=1…（2分），
∴f(x)=

3x-1

3x+1

f(-x)=

3-x-1

3-x+1

=

1 3x -1

1 3x +1

=

1-3x

3x+1

=-

3x-1

3x+1

=-f(x)
∴當a=1時，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)…（4分）
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f(x)=a-

2

3x+1

f（x₁）-f（x₂）=a-

2

3x1+1

-(a-

2

3x2+1

)
=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1+1)-2(3x2+1)

(3x1+1)(3x2+1)

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

…（7分）
∵x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2
∴3x1-3x2＜0
又∵3x1+1＞0，3x2+1＞0
f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴不論a取何值，函數(shù)f（x）在其定義域上都是增函數(shù)．…（9分）
（3）解：由f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
∴-f（2m-3）=f（3-2m）
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）
由（2）已證得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）?3m²-m+1＜3-2m
∴3m²+m-2＜0
∴（3m-2）（m+1）＜0
∴-1＜m＜

2

3

．
不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0的解集為{m|-1＜m＜

2

3

}．…（14分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明函數(shù)的單調(diào)性的應用，抽象函數(shù)的單調(diào)性在求解不等式中的應用，屬于函數(shù)知識的綜合應用．