已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))
分析:(Ⅰ)先求導函數(shù),直接讓導函數(shù)大于0求出增區(qū)間,導函數(shù)小于0求出減區(qū)間即可;
(Ⅱ)直接利用切線的斜率即為切點處的導數(shù)值以及切點是直線與曲線的共同點聯(lián)立方程即可求實數(shù)a的值;
(Ⅲ)先求出g(x)的導函數(shù),分情況討論出函數(shù)在在區(qū)間[1,e]上的單調(diào)性,進而求得其在區(qū)間[1,e]上的最小值.
解答:解:(Ⅰ)因為函數(shù)f(x)=
a(x-1)
x2
,
∴f′(x)=
[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1)
x4
=
a(2-x)
x3
,f′(x)>0⇒0<x<2,
f′(x)<0⇒x<0,或x>2,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞),
(Ⅱ)設切點為(x,y),
由切線斜率k=1=
a(2-x)
x3
,⇒x3=-ax+2a,①
由x-y-1=x-
a(x-1)
x2
-1=0⇒(x2-a)(x-1)=0⇒x=1,x=±
a

把x=1代入①得a=1,
把x=
a
代入①得a=1,
把x=-
a
代入①得a=-1(舍去),.
故所求實數(shù)a的值為1.
(Ⅲ)∵g(x)=xlnx-x2f(x)=xlnx-a(x-1),
∴g′(x)=lnx+1-a,解lnx+1-a=0得x=ea-1
故g(x)在區(qū)間(ea-1,+∞)上遞增,在區(qū)間(0,ea-1)上遞減,
①當ea-1≤1時,即0<a≤1時,g(x)在區(qū)間[1,e]上遞增,其最小值為g(1)=0;
②當1<ea-1<e時,即0<a<2時,g(x)的最大值為g(ea-1)=a-ea-1;
③當ea-1≥e,即a≥2時,g(x)在區(qū)間[1,e]上遞減,其最小值為g(e)=e+a-ae.
點評:本題主要考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,是高考的?碱}型.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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