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已知函數f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數f(x)總是為增函數;
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數;
(3)當f(x)為奇函數時,求f(x)的值域.
分析:(1)先設x1<x2,欲證明不論a為何實數f(x)總是為增函數,只須證明:f(x1)-f(x2)<0,即可;
(2)根據f(x)為奇函數,利用定義得出f(-x)=-f(x),從而求得a值即可;
(3)由(2)知f(x)=
1
2
-
1
2x+1
(4),利用指數函數2x的性質結合不等式的性質即可求得f(x)的值域.
解答:解:(1)∵f(x)的定義域為R,設x1<x2,
f(x1)-f(x2)=a-
1
2x1+1
-a+
1
2x2+1
=
2x1-2x2
(1+2x1)(1+2x2)
,
∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),所以不論a為何實數f(x)總為增函數.
(2)∵f(x)為奇函數,∴f(-x)=-f(x),即a-
1
2-x+1
=-a+
1
2x+1
,
解得:a=
1
2
.∴f(x)=
1
2
-
1
2x+1

(3)由(2)知f(x)=
1
2
-
1
2x+1
(4),∵2x+1>1(5),∴0<
1
2x+1
<1
(6),∴-1<-
1
2x+1
<0
,∴-
1
2
<f(x)<
1
2

所以f(x)的值域為(-
1
2
,
1
2
)
點評:本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識,考查運算求解能力與化歸與轉化思想.屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數f(x)的大致圖象;
(2)求函數f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數q(t)的單調遞增區(qū)間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數,則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數的底數)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數,求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調性的情況,并證明你的結論.

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