已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.
分析:(1)先由x=8>3,且點Q在函數(shù)圖象上得:6=(8-5)2-a,解得a值,最后寫出函數(shù)表達(dá)式畫出圖象即可.
(2)根據(jù)f (x )=9,得 3-x=9或(x-5)2-3=9,解此指數(shù)方程即得;
(3)先對t進行分類討論:當(dāng)t≤-1時,當(dāng)-1<t≤0時,當(dāng)0<t≤2時,當(dāng)2<t≤3時,當(dāng)3<t 時,分別討論其單調(diào)性,最后綜合上述,函數(shù)q (t ) 的單調(diào)遞增區(qū)間是即可.
解答:解:精英家教網(wǎng)(1)由x=8>3,且點Q在函數(shù)圖象上得:
6=( 8-5 ) 2-a,解得a=3.
得f ( x )=
3-xx≤0
10<x≤3
(x-5)2-3x>3
(2分)
圖象如圖所示.(2分)
(2)由f (x )=9,得 3-x=9或(x-5)2-3=9,
解得:x=-2,或x=5 ±2
3
(負(fù)舍去)
得 x=-2,或x=5 +2
3
.(2分)
(3)當(dāng)t≤-1時,q (t )=f (t+1 )-f ( t )=3-t-1-3-t=-
2
3
(
1
3
)t
,
此時,q (t )單調(diào)遞增;
當(dāng)-1<t≤0時,q (t )=f (t+1 )-f ( t )=1-3-t=1-(
1
3
)t
,
此時,q (t )單調(diào)遞增;
當(dāng)0<t≤2時,q (t )=f (t+1 )-f ( t )=1-1=0,此時,q (t )是常數(shù)函數(shù);
當(dāng)2<t≤3時,q (t )=f (t+1 )-f ( t )=(t-4 )2-4,此時,q (t )單調(diào)遞減;
當(dāng)3<t 時,q (t )=f (t+1 )-f ( t )=(t-4 )2-3-(t-5 )2+3=2t-9,此時,q (t )單調(diào)遞增.
綜合上述,函數(shù)q (t ) 的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0]和[3,+∞].(4分)
注:正確給出遞增區(qū)間(2分),有說明(2分).
點評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)的零點、函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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