Question

已知函數(shù)f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取極值2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)m滿足什么條件時，f（x）在區(qū)間（m，2m+1）為增函數(shù)；
（3）若P（x₀，y₀）是函數(shù)f（x）圖象上一個動點(diǎn)，直線l與函數(shù)f（x）圖象切于P點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取極值2，可得

f′(1)=0 f(1)=2

，求出a，b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，即f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，又f（x）在（m，2m+1）上為增函數(shù)，可得不等式組，即可求m的值；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求斜率，再換元，配方，即可求直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

a(b-x2)

(x2+b)2

…1’
由已知

f′(1)=0 f(1)=2

，即

a(b-1) (1+b)2 =0 a 1+b =2

，∴

a=4 b=1

，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=

4x

x2+1

…3’
（2）由（1）得f′(x)=

4(1-x2)

(x2+1)2

，令f'（x）＞0，解得-1＜x＜1…4’
故f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)…5’
又f（x）在（m，2m+1）上為增函數(shù)，
∴

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，解得-1＜m≤0…7’
即當(dāng)-1＜m≤0時，函數(shù)f（x）在（m，2m+1）為增函數(shù)…8’
（3）∵直線l與f（x）圖象切于P（x₀，y₀）點(diǎn)
∴l(xiāng)斜率k=f′(x0)=

4-4 x 2 0

( x 2 0 +1)2

=

-4

x 2 0 +1

+

8

( x 2 0 +1)2

…9’
令t=

1

x 2 0 +1

，則0＜t≤1，k=8t2-4t=8(t-

1

4

)2-

1

2

…10’
當(dāng)t=

1

4

時，kmin=-

1

2

，當(dāng)t=1時，k_max=4…11’
故直線l斜率的取值范圍是[-

1

2

，4]…12’

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查極值的意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．