在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b=4，
BA
•
BC
=8．
（1）求a2+c2的值；
（2）求函數(shù)f（B）=
3
sinBcosB+cos2B的值域．
考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡
BA
•
BC
=8，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將化簡結(jié)果及b的值代入計(jì)算即可求出a2+c2的值；
（2）由基本不等式求出ac的范圍，根據(jù)accosB=8表示出cosB，由ac的范圍求出cosB的范圍，進(jìn)而利用余弦函數(shù)性質(zhì)求出B的范圍，f（B）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（B）的范圍．
解答： 解：（1）∵
BA
•
BC
=8，∴accosB=8，
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-16，
∵b=4，
∴a2+c2=32；
（2）∵a2+c2≥2ac，
∴ac≤16，
∵accosB=8，
∴cosB=
8
ac
≥
1
2
，
∵B∈（0，π），
∴0＜B≤
π
3
，
∵f（B）=
3
sinBcosB+cos2B=
3
2
sin2B+
1
2
（1+cos2B）=sin（2B+
π
6
）+
1
2
，
∵
π
6
＜2B+
π
6
≤
5π
6
，
∴sin（2B+
π
6
）∈[
1
2
，1]，
則f（B）的值域?yàn)閇1，
3
2
]．
點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若
a+i
1-i
（a∈R）是純虛數(shù)，則|
a+i
1-i
|=（　　）
A、i
B、1
C、
2
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為
.
z
，且（
.
z
-1）（1+i）=2i，則復(fù)數(shù)z=（　　）
A、2+iB、2-i
C、-2+iD、-2-i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
3
2
-
a
x
，（a為常數(shù)）
（1）若方程e2f（x）=g（x）在區(qū)間[
1
2
，1]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，證明不等式g（x）＜f（x）＜x-2在[4，+∞）上恒成立；
（3）證明：
5n
4
+
1
60
＜
n
k=1
[2f(2k+1)-f(k+1)-f(k)]＜2n+1，（n∈N*）（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，設(shè)Sn=a1+a2+…+an，Tn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
，且（2-Sn）（1+Tn）=2，n∈N*．
（1）設(shè)bn=2-Sn，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)cn=
1
2
nan，求集合{（m，k，r）|cm+cr=2ck，m＜k＜r，m，k，r∈N*}．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R，且a＞0），若a=1，又知x1，x2是方程f（x）=0的兩個(gè)根，且x1，x2∈（m，m+1），其中m∈R，求f（m）f（m+1）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)取得極值-2，
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=x4-2x2-3，對任意x∈[-
3
，
3
]都有f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=t，且an+1=2Sn+1，n∈N*．
（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設(shè)bn=log3an+1，數(shù)列{
bn
an
}的前n項(xiàng)和Tn，證明Tn＜
9
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U=R，集合A={x|y=lg（1-x）}，B={x||x|＜a，a∈R}，（∁uA）∩B=∅，則a的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊答案