Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD與側(cè)面PAB都是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=5，E是CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面PCD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求二面角P-BC-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC，由已知得CD⊥AE，PA⊥面ABCD，PA⊥CD，由此能證明平面PCD⊥平面PAE．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作BG∥CD，分別與AE、AD交于F，G，連接PF，由已知得∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE，由PA⊥平面ABCD，知∠PAB為直線PB與平面ABCD所成的角，由題意知∠PBA是二面角的平面角，由此能求出二面角P-BC-D的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5．
又AD=5，E是CD的中點(diǎn)，∴CD⊥AE．
由已知側(cè)面PAD與側(cè)面PAB都是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
∴PA⊥面ABCD，又CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交線，
∴CD⊥平面PAE，
又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAE．
（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)B作BG∥CD，分別與AE、AD交于F，G，連接PF，
由（1）得CD⊥平面PAE，∴BG⊥平面PAE，
∴∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE，
由PA⊥平面ABCD，知∠PAB為直線PB與平面ABCD所成的角，
AB=4，AG=2，BG⊥AF，由題意知∠PBA=∠BPF，
∵sin∠PBA=

PA

PB

，sin∠BPF=

BF

PB

，∴PA=BF，
由∠DAB=∠ABC=90°，知AD∥BC，
又BG∥CD，∴四邊形BCDG是平行四邊形，
∴GD=BC=3，∴AG=2，
在Rt△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，
∴BG=

AB2+AG2

=2

5

，BF=

AB2

BG

=

16

2 5

=

8 5

5

，
∴PA=BF=

8 5

5

，
由題意知∠PBA是二面角的平面角，
tan∠PBA=

PA

AB

=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．