Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．已知a₅=b₅，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a5=b5=b1q5-1=1×34=81，d=

a5-a1

5-1

=

81-1

4

=20，由此能求出a_n．
（2）令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)•3n-1，由此利用錯位相減法能求出{a_n•b_n}的前n項和．

解答： 解：（1）依題意，a5=b5=b1q5-1=1×34=81，
故d=

a5-a1

5-1

=

81-1

4

=20，…（3分）
所以a_n=1+20（n-1）=20n-19．…（6分）
（2）∵a_n=1+20（n-1）=20n-19，b_n=3^n-1，
∴a_n•b_n=（20n-19）•3^n-1，
令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)•3n-1，①
則3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)•3n-1+(20n-19)•3n，②
①-②得，-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)•3n …（9分）
=1+20×

3(1-3n-1)

1-3

-(20n-19)•3n 
=（29-20n）•3ⁿ-29，
所以Sn=

(20n-29)•3n+29

2

．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．