【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,離心率為,過的直線與橢圓交于兩點,且的周長為8.

(1)求橢圓的方程;

(2)直線過點,且與橢圓交于兩點,求面積的最大值.

【答案】(1);(2)3.

【解析】

(1)由的周長為8,可知,結(jié)合離心率為,可求出,,從而可得到橢圓的標準方程;(2)由題意知直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為,,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得到關(guān)于的一元二次方程,由三角形的面積公式可知,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得到的表達式,求出最大值即可。

(1)由題意知, ,則,

由橢圓離心率,則,,

則橢圓的方程.

(2)由題意知直線的斜率不為0,

設(shè)直線的方程為,

,

所以,

,則,所以,

上單調(diào)遞增,則的最小值為4,

所以,

時取等號,即當時,的面積最大值為3.

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