Question

（12分）.已知圓C： 
直線
（1）證明：不論取何實數(shù)，直線與圓C恒相交；
（2）求直線被圓C所截得的弦長最小時直線的方程；

Answer 1

（1）可證明直線L過圓C內(nèi)的定點（3,1）
（2）2X-Y-5=0

本題考查學(xué)生會求兩直線的交點坐標(biāo)，會利用點到圓心的距離與半徑的大小比較來判斷點與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用圓的垂徑定理解決實際問題，掌握兩直線垂直時斜率的關(guān)系，會根據(jù)斜率與一點坐標(biāo)寫出直線的方程，是一道綜合題．
（1）要證直線l無論m取何實數(shù)與圓C恒相交，即要證直線l橫過過圓C內(nèi)一點，方法是把直線l的方程改寫成m（2x+y-7）+x+y-4=0可知，直線l一定經(jīng)過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點，聯(lián)立兩條直線的方程即可求出交點A的坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式求出AC之間的距離d，判斷d小于半徑5，得證；
（2）根據(jù)圓的對稱性可得過點A最長的弦是直徑，最短的弦是過A垂直于直徑的弦，所以連接AC，過A作AC的垂線，此時的直線與圓C相交于B、D，弦BD為最短的弦，接下來求BD的長，根據(jù)垂徑定理可得A是BD的中點，利用（1）圓心C到BD的距離其實就是|AC|的長和圓的半徑|BC|的長，根據(jù)勾股定理可求出12
|BD|的長，求得|BD|的長即為最短弦的長；根據(jù)點A和點C的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，然后根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為-1求出直線BD的斜率，又直線BD過A（3，1），根據(jù)斜率與A點坐標(biāo)即可寫出直線l的方程．