Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓G：x2＋y2＝(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓G的兩切線，切點(diǎn)分別為M、N.

(1)若橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)、，求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)c為定值時，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn)E，并求·的值(O是坐標(biāo)原點(diǎn))；

(3)若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．.

 

Answer 1

（1）＝1.（2）見解析（3）

【解析】(1)【解析】
令橢圓mx2＋ny2＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即橢圓方程為＝1.

(2)證明：直線AB：＝1，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則OP的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)O、M、P、N所在的圓的方程為＝，化簡為x2－x0x＋y2－y0y＝0，與圓x2＋y2＝作差，即直線MN：x0x＋y0y＝.

因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在直線AB上，得＝1，

所以x0 ＋＝0，即

得x＝－，y＝，故定點(diǎn)E ，·＝＝.

(3)【解析】
由直線AB與圓G：x2＋y2＝ (c是橢圓的焦半距)相離，則＞，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因?yàn)?＜e＜1，所以0＜e2＜3－　①.連結(jié)ON、OM、OP，若存在點(diǎn)P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因?yàn)?＜e＜1，所以≤e2＜1，②.由①②得≤e2＜3－，所以