Question

【題目】已知函數(shù)是上的偶函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）判斷并證明函數(shù)在上單調(diào)性；

（3）求函數(shù)在上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）最大值為1，最小值為.

【解析】試題分析：（1）依據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程求出實(shí)數(shù)的值；（2）先判斷其單調(diào)性，然后再運(yùn)用單調(diào)性的定義及差比法進(jìn)行推理和證明；（3）借助（2）中的單調(diào)性及函數(shù)的對稱性進(jìn)行推斷和探求最大、小值。

試題解析：

（1）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，

即，對任意實(shí)數(shù)恒成立，解得.

（2）由（1）得：，

函數(shù)在上為增函數(shù)，下證明：

設(shè)任意且，即

則

∵且，

∴，即，

于是函數(shù)在上為增函數(shù).

（3）由（2）知，函數(shù)在上為增函數(shù)，

又是偶函數(shù)，則在上為減函數(shù)，

又，，，

所以的最大值為1，最小值為．