【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，政府欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園，園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG（圖中陰影部分），以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖所示）．景觀湖的邊界線符合函數(shù)y=x+ （x＞0）模型，園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上，PO= 百米．
（1）若在點(diǎn)O和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)M之間修建一條休閑長廊OM，求OM的最短長度；
（2）若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q，試確定Q的位置，使通道PQ最短．

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，x+ ），則|OM|2=x2+（x+ ）2=2x2+ +2≥2 +2，

當(dāng)且僅當(dāng)2x2= 即x2= 時(shí)取等號(hào)，

∴|OM|的最短距離為


（2）解：過P作函數(shù)y=x+ 的切線l，設(shè)切線l的方程為y=k（x﹣ ）（k＜0），

聯(lián)立方程組 ，得（1﹣k）x2+ x+1=0，

令△= k2﹣4（1﹣k）=0得k=﹣3或k= （舍），

∴直線l的方程為y=﹣3（x﹣ ），

令y=5得x=﹣ ，

∴DQ=6﹣ = ．

∴當(dāng)|DQ|= 時(shí)，通道PQ最短


【解析】（1）設(shè)M（x，x+ ），利用距離公式得出|OM|2關(guān)于x的函數(shù)，利用基本不等式求出最小值即可；（2）當(dāng)直線PQ與湖邊界相切時(shí)，通道最短，設(shè)出切線方程，與邊界函數(shù)聯(lián)立，令△=0即可得出切線方程，從而確定Q點(diǎn)的位置．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)多面體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如圖，M，N分別為A1B，B1C1的中點(diǎn).

下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有　(　　)

①直線MN與A1C相交.

②MN⊥BC.

③MN∥平面ACC1A1.

④三棱錐N-A1BC的體積為=a3.

A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是一座橋的截面圖，橋的路面由三段曲線構(gòu)成，曲線AB和曲線DE分別是頂點(diǎn)在路面A、E的拋物線的一部分，曲線BCD是圓弧，已知它們在接點(diǎn)B、D處的切線相同，若橋的最高點(diǎn)C到水平面的距離H=6米，圓弧的弓高h(yuǎn)=1米，圓弧所對的弦長BD=10米．
（1）求弧 所在圓的半徑；
（2）求橋底AE的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓M：與軸相切．

(1)求的值；

(2)求圓M在軸上截得的弦長；

(3)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓M相切，為切點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：(1)先將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直線和圓相切進(jìn)行求解；(2) 令，得到關(guān)于的一元二次方程進(jìn)行求解；(3)將四邊形的面積的最小值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的的距離進(jìn)行求解.

試題解析：(1) 　　∵圓M：與軸相切　　

∴　　　∴

(2) 令，則　　∴

　∴

(3)

　∵的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，　

∴　∴

∴四邊形面積的最小值為．

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，且圓與軸交于， 兩點(diǎn)，設(shè)直線的方程為．

（1）當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求直線的方程；

（2）已知直線與圓相交于， 兩點(diǎn)．

（�。┤�，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）直線與直線相交于點(diǎn)，直線，直線，直線的斜率分別為， ， ，

是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量m （sin ，1）， =（1， cos ），函數(shù)f（x）=
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若f（α﹣ ）= ，求f（2α+ ）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且時(shí)，總有成立．

求a的值；

判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

求在上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ， ．
（I）求 的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對任意的 ，都有 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn) ，其離心率 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線 與橢圓 相切，切點(diǎn)為 ，且 與直線 相交于點(diǎn) ．
試問：在 軸上是否存在一定點(diǎn)，使得以 為直徑的圓恒過該定點(diǎn)？若存在，
求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣alnx+x（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

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