Question

【題目】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若 =3n﹣1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn+1，∴an=2Sn﹣1+1，（n≥2）， 兩式相減得：an+1﹣an=2an ， 即 =3．
又n=1時(shí)，a2=2a1+1=3，∴ ，
∴{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
∴an=3n﹣1 ．
（II）bn=（3n﹣1）an=（3n﹣1）3n﹣1 ，
∴Tn=230+531+832+…+（3n﹣1）3n﹣1 ， ①
∴3Tn=231+532+833+…+（3n﹣1）3n ， ②
∴﹣2Tn=2+32+33+34+…+3n﹣（3n﹣1）3n
= ﹣1﹣（3n﹣1）3n=（ ）3n﹣ ，
∴Tn=（ ﹣ ）3n+ ．
【解析】（I）由條件得an=2Sn﹣1+1（n≥2），與條件式相減可得 =3，再驗(yàn)證 即可得{an}為等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；（II）化簡得bn=（3n﹣1）3n﹣1 ， 使用錯(cuò)位相減法求和即可．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．