【題目】設(shè)直線l：y=2x﹣1與雙曲線（，）相交于A、B兩個不

同的點，且（O為原點）．

（1）判斷是否為定值，并說明理由；

（2）當(dāng)雙曲線離心率時，求雙曲線實軸長的取值范圍．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）為定值5．將直線y=2x﹣1與雙曲線的方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理即可得到定值；

（2）運用雙曲線的離心率公式和（1）的結(jié)論，解不等式即可得到所求實軸的范圍．

（1）為定值5．

理由如下：y=2x﹣1與雙曲線聯(lián)立，

可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠2a），

即有△=16a4+4（b2﹣4a2）（a2+a2b2）＞0，

化為1+b2﹣4a2＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=，x1x2=，由（O為原點），可得

x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，

即5﹣2+1=0，

化為5a2b2+a2﹣b2=0，即有=5，為定值．

（2）由雙曲線離心率時，

即為＜＜，即有2a2＜c2＜3a2，

由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜2a2，即＜＜，

由=5，可得＜﹣5＜，化簡可得a＜，

則雙曲線實軸長的取值范圍為（0，）．

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相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知平面上的三點P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)．

(1)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點P、F1、F2關(guān)于直線y＝x的對稱點分別為P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′為焦點且過點P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)若，證明： ，總有.

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【題目】已知點A（﹣2，0），B（0，1）在橢圓C： （a＞b＞0）上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P是線段AB上的點，直線y= x+m（m≥0）交橢圓C于M、N兩點，若△MNP是斜邊長為 的直角三角形，求直線MN的方程．

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【題目】已知平面向量 、 滿足| |=| |=1， = ，若向量 滿足| ﹣ + |≤1，則| |的最大值為（ ）
A.1
B.
C.
D.2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若A滿足2cos2A+cos（2A+ ）=﹣ ．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若c=3，△ABC的面積為3 ，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在R上的函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，則x﹣b的取值范圍是（ ）
A.[﹣2，0]
B.[﹣2，2]
C.[0，2]
D.[0，4]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，離心率為，并過點.

(1)求橢圓方程；

(2)若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若 =3n﹣1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn ．

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