【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的菱形,,且平面平面.

1)證明:

2)求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1中點為,連接,證明平面,即可證明;

2)由(1)知,、、兩兩垂直,以為原點建立空間直角坐標系,分別求出平面和平面的法向量,即可求出二面角的余弦值.

1)設(shè)中點為,連接,如圖所示,

中,,中點,所以,

又四邊形為菱形,,所以是等邊三角形,

中點,所以,

,所以平面

又因為平面,所以.

2)由(1)知,、、兩兩垂直,

為原點建立空間直角坐標系,如圖所示,

,,,,

所以,,,

設(shè)平面的法向量,

,令,則,,

所以

設(shè)平面的法向量,

,令,則,

所以;

因為二面角是銳角,

所以

即二面角的余弦值為.

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