Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線(xiàn)段PD上．

（1）求證：EF⊥平面PAC；
（2）如果直線(xiàn)ME與平面PBC所成的角和直線(xiàn)ME與平面ABCD所成的角相等，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°，

∵AB=AC，∴AB⊥AC．

∵E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴EF∥AB，

∴EF⊥AC．

∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，

∴PA⊥底面ABCD．

又EF底面ABCD，

∴PA⊥EF．

又∵PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，

∴EF⊥平面PAC．

（2）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AP為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），

∴ =（2，0，﹣2）， =（﹣2，2，﹣2）， ， =（1，1，﹣2）．

設(shè) =λ（0≤λ≤1），則 =（﹣2λ，2λ，﹣2λ），

∴ = - =（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），

顯然平面ABCD的一個(gè)法向量為 =（0，0，1）．

設(shè)平面PBC的法向量為 =（x，y，z），

則 ，即

令x=1，得 =（1，1，1）．

∴cos＜ ， ＞= = ，cos＜ ＞= = ．

∵直線(xiàn)ME與平面PBC所成的角和此直線(xiàn)與平面ABCD所成的角相等，

∴| |=| |，即 ，

解得 ，或 （舍）．

∴ ．

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性質(zhì)得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) =λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的法向量 及 的坐標(biāo)，根據(jù)線(xiàn)面角相等列方程解出λ．