Question

已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱AB，BC，BB₁兩兩垂直且長度相等，點P在線段A₁C₁（包括端點A₁，C₁）上運動，直線BP與B₁C所成角為θ，則θ的取值范圍是（　�。�

• A、0＜θ≤

  π

  2

• B、

  π

  6

  ≤θ≤

  π

  2

• C、

  π

  3

  ≤θ≤

  π

  2

• D、0＜θ≤

  π

  3

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：畫出圖形，建立空間直角坐標系，設(shè)棱長AB=1，P（-a，1-a，1）（0≤a≤1），
求出

BP

、

B1C

的坐標表示，利用空間向量的夾角公式，求出結(jié)果．

解答： 解：畫出圖形，建立空間直角坐標系，如圖所示；
設(shè)棱長AB=1，

則B（0，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），
設(shè)P（-a，1-a，1）（0≤a≤1），
則

BP

=（-a，1-a，1），

B1C

=（0，1，-1），
∴cosθ=|

BP • B1C

| BP |×| B1C |

|
=|

-a×0+(1-a)×1+1×(-1)

(-a)2+(1-a)2+1 × 2

|
=

a

2 a2-a+1

，
當(dāng)a=0時，cosθ=0，
當(dāng)a≠0時，cosθ=

1

2

•

1

1- 1 a + 1 a2

=

1

2

•

1

( 1 a - 1 2 )2+ 3 4

；
∵0＜a≤1，
∴

1

a

≥1，
∴

( 1 a - 1 2 )2+ 3 4

≥1，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時“=”成立；
∴cosθ≤

1

2

，即0≤cosθ≤

1

2

；
又∵0≤θ≤

π

2

，
∴

π

3

≤θ≤

π

2

，
即θ的取值范圍是

π

3

≤θ≤

π

2

．
故選：C．

點評：本題考查了利用空間向量的知識求空間角的問題，解題時建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼凳墙忸}的關(guān)鍵，屬于中檔題．