Question

函數(shù)F（x）=（x²+

1

x

）ⁿ+（

1

x2

+x）ⁿ（n是正整數(shù)） 在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值和最小值的積為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,二項式定理

分析：運用二項式定理，將F（x）展開，合并得到，F(xiàn)（x）=

C

0 n

(x2n+

1

x2n

)+

C

1 n

（x2n-3+

1

x2n-3

）+…+

C

r n

(x2n-3r+

1

x2n-3r

)+…+

C

n n

(xn+

1

xn

)，再令g（x）=xn+

1

xn

（x＞0），運用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性和最值，
即可得到F（x）在[

1

2

，1）上遞減，在（1，2]上遞增，進(jìn)而得到F（x）的最值，進(jìn)而得到乘積．

解答： 解：由二項式定理，可得，
（x²+

1

x

）ⁿ=

C

0 n

x2n+

C

1 n

x2n-2•

1

x

+…+

C

r n

(x2)n-r(

1

x

)r+…+

C

n n

1

xn

．
（

1

x2

+x）ⁿ=

C

0 n

(

1

x2

)n+

C

1 n

(

1

x2

)n-1x+…+

C

r n

(

1

x2

)n-rxr+…+

C

n n

xn．
則F（x）=

C

0 n

(x2n+

1

x2n

)+

C

1 n

（x2n-3+

1

x2n-3

）+…+

C

r n

(x2n-3r+

1

x2n-3r

)
+…+

C

n n

(xn+

1

xn

)，
令g（x）=xn+

1

xn

（x＞0），g′（x）=nx^n-1-

n

xn+1

=n•

x2n-1

xn+1

，
g′（x）＞0，即有x²ⁿ＞1，即x＞1；g′（x）＜0，即有x²ⁿ＜1，即0＜x＜1．
即有g(shù)（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
則F（x）在[

1

2

，1）上遞減，在（1，2]上遞增，
即有x=1取最小值，且為2ⁿ⁺¹，
由于F（

1

2

）=F（2）=（

9

2

）ⁿ+（

9

4

）ⁿ，且為最大值，
則最大值與最小值的積為：2ⁿ⁺¹•[（

9

2

）ⁿ+（

9

4

）ⁿ]=2[9ⁿ+（

9

2

）ⁿ]．
故答案為：2[9ⁿ+（

9

2

）ⁿ]．

點評：本題考查二項式定理及運用，考查導(dǎo)數(shù)的運用：判斷單調(diào)性和求極值、最值，考查運算能力，屬于難題．