Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且離心率e滿足成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被點(diǎn)平分．

Answer 1

解：（1），∴，∵，∴a=3…（2分）
∴b²=1，∴…（4分）
（2）假設(shè)存在這樣的直線l，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則，作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）+9（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0…（6分）
∵線段MN恰被點(diǎn)平分
∴x₁+x₂=-1，y₁+y₂=3
設(shè)直線l的斜率為k，則k=3，∴直線l的方程為y=3x+3…（10分）
檢驗(yàn)：，整理得x²+x=0顯然△＞0
檢驗(yàn)成立，所以存在這樣的直線l…．（12分）
分析：（1）利用橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且離心率e滿足成等比數(shù)列，求出幾何量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用點(diǎn)差法，結(jié)合線段MN恰被點(diǎn)平分，可得直線方程，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．