Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）=t在[

1

e

，e]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，（xlnx）′=（x）′lnx+x（lnx）′，（lnx）′=

1

x

，分別令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，得x的取值區(qū)間，即為f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）的單調(diào)性，求出極大值，求出區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，利用兩個(gè)函數(shù)的圖象可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1-（lnx+1）=-lnx，
令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值為1，
f（

1

e

）=

2

e

，f（e）=0，
由函數(shù)f（x）=x-xlnx與f（x）=t的圖象知
實(shí)數(shù)t的取值范圍為[

2

e

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，知函數(shù)圖象的大致走向，注意把方程解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可使問題直觀易懂．