設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱(chēng)直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)因?yàn)閒(x)=a2x2,所以f′(x)=2a2x,令f′(x)=2a2x=1
得:x=
1
2a2
,此時(shí)y=
1
4a2
,
則點(diǎn)(
1
2a2
1
4a2
)
到直線x-y-3=0的距離為2
2
,
2
2
=
|
1
2a2
-
1
4a2
-3|
2
,解之得a=
7
14

(2)不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),
等價(jià)于(1-a2)x2-2x+1>0恰有三個(gè)整數(shù)解,故1-a2<0,
令h(x)=(1-a2)x2-2x+1,由h(0)=1>0且h(1)=-a2<0(a>0),
所以函數(shù)h(x)=(1-a2)x2-2x+1的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(0,1),
則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間(-3,-2),這是因?yàn)榇藭r(shí)不等式解集中有-2,-2,0恰好三個(gè)整數(shù)解
h(-2)>0
h(-3)≤0
解之得
4
3
≤a<
3
2

(3)設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=
1
2
x2-elnx
,
F(x)=x-
e
x
=
x2-e
x
=
(x-
e
)(x+
e
)
x

所以當(dāng)0<x<
e
時(shí),F(xiàn)′(x)<0;當(dāng)x>
e
時(shí),F(xiàn)′(x)>0.
因此x=
e
時(shí),F(xiàn)(x)取得最小值0,
則f(x)與g(x)的圖象在x=
e
處有公共點(diǎn)(
e
,
e
2
)

設(shè)f(x)與g(x)存在“分界線”,
方程為y-
e
2
=k(x-
e
)
,即y=kx+
e
2
-k
e
,
f(x)≥kx+
e
2
-k
e
在x∈R恒成立,
x2-2kx-e+2k
e
≥0
在x∈R恒成立.
所以△=4k2-4(2k
e
-e)=4k2-8k
e
+4e=4(k-
e
)2≤0
成立,
因此k=
e

下面證明g(x)≤
e
x-
e
2
(x>0)
恒成立.
設(shè)G(x)=elnx-x
e
+
e
2
,則G′(x)=
e
x
-
e
=
e
(
e
-x)
x

所以當(dāng)0<x<
e
時(shí),G′(x)>0;當(dāng)x>
e
時(shí),G′(x)<0.
因此x=
e
時(shí)G(x)取得最大值0,則f(x)≤
e
x-
e
2
(x>0)
成立.
故所求“分界線”方程為:y=
e
x-
e
2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x-aex-1
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)≤0對(duì)x∈R恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)對(duì)任意n的個(gè)正整數(shù)a1,a2,…an記A=
a1+a2+…+an
n

(1)求證:
ai
A
e
ai
A
-1
(i=1,2,3…n)(2)求證:A
na1a2an

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an滿足Sn=
q
q-1
(an-1)
(q是常數(shù)且q>0,q≠1,).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)q=
1
3
時(shí),試證明a1+a2+…+an
1
2
;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=logqx,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),是否存在正整數(shù)m,使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
m
3
對(duì)任意n∈N*都成立?若存在,求出m的值,若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-
a2

(1)求證:函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),求|x1-x2|的范圍.
(3)求證:函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x1,x2至少有一個(gè)在區(qū)間(0,2)內(nèi).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|(x∈R)四位同學(xué)研究得出如下四個(gè)命題,其中真命題的有( 。﹤(gè)
①f(x)是偶函數(shù);
②f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;
③不等式f(x)<2010×2011的解集為∅;
④關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程f(a2-3a+2)=f(a-1)有無(wú)數(shù)解.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2006•杭州一模)設(shè)函數(shù)f(x)=
x2
ax-2
(a∈N*),又存在非零自然數(shù)m,使得f(m)=m,f(-m)<-
1
m
成立.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè){an}是各項(xiàng)非零的數(shù)列,若f(
1
an
)=
1
4(a1+a2+…+an)
對(duì)任意n∈N*成立,求數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,數(shù)列{an}是否惟一確定?請(qǐng)給出判斷,并予以證明.

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