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設函數f(x)是定義在R上的偶函數,且f(x+2)=f(x)恒成立;當x∈[0,1]時,f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當x∈[-1,0]時f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列;
④關于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個不同的根.
其中真命題的個數為(  )
分析:①因為函數f(x)是定義在R上的偶函數,所以f(-
3
4
)=f(
3
4
)
;又因為對于任意的x等式f(x+2)=f(x)恒成立,所以
f(
15
2
)可化為f(
1
2
),因為
1
2
3
4
都在[0,1]上,所以可以比較f(
3
4
)與f(
1
2
)
大小,通過計算可得f(
1
2
)>f(
3
4
)
.故可知①正確.
②當x∈[-1,0]時,則-x∈[0,1],于是f(x)=f(-x)=(-x)3-4(-x)+3=-x3+4x+3≠x3+4x+3.故可知②不正確.
③因為f(x)=3x2-4,所以當x∈[0,1]時,可知f(x)在x∈[0,1]上單調遞減.又因為f(0)=3,f(1)=0,所以
f(x)=0在x∈[0,1]時只有一個根1;同時,因為f(x)是偶函數,所以f(x)在x∈[-1,0]上亦有且只有一個根-1,又因為對于任意的x等式f(x+2)=f(x)恒成立,所以有f(1)=f(3)=f(5)=…
故f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標為:1,3,5,….從而可判斷出③正確.
④由③可知f(x)在x∈[0,1]上單調遞減,且0≤f(x)≤3,則函數y=f(x)與y=|x|的圖象在x∈[0,1]上有且只有有一個交點,即方程f(x)=|x|在x∈[0,1]上有且只有一個根,設為x1.由于函數f(x)是定義在R上的偶函數,所以f(-x1)=f(x1)=|-x1|,即-x1也是方程f(x)=|x|的一個根,這就是說:方程f(x)=|x|在x∈[-1,1]上有且只有兩個根x1,-x1.同理,方程f(x)=|x|分別在x∈[1,2]、[2,3]上各有一個根,設為x2,x3;易知,方程f(x)=|x|分別在x∈[-2,-1]、[-3,-2]上亦各有一個根,且為-x2,-x3.在x∈(3,4]上,0<f(x)≤3,而3<|x|,故方程f(x)=|x|無根.綜上可知:方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上共有6個根.因此④不正確.
解答:解:①∵函數f(x)是定義在R上的偶函數,∴f(-
3
4
)=f(
3
4
)
=(
3
4
)3-4×
3
4
+3
=
27
64
;
又∵對于任意的x等式f(x+2)=f(x)恒成立,
∴f(
15
2
)=f(6+
3
2
)=f(
3
2
)=f(2-
1
2
)=f(-
1
2
)=f(
1
2
)=(
1
2
)3-4×
1
2
+3
=
1
8
+1
>f(-
3
4
).
故可知①正確.
②當x∈[-1,0]時,則-x∈[0,1],于是f(x)=f(-x)=(-x)3-4(-x)+3=-x3+4x+3≠x3+4x+3.
故可知②不正確.
③因為f(x)=3x2-4,所以當x∈[0,1]時,恒有f(x)<0成立,故f(x)在x∈[0,1]時單調遞減.
又因為f(0)=3,f(1)=0,所以f(x)=0在x∈[0,1]時有且只有一個根1;同理f(x)=0在x∈[-1,0]上有且只有一個根-1.
又因為對于任意的x等式f(x+2)=f(x)恒成立,所以有f(-1)=f(1)=f(3)=f(5)=…;
故f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標為:1,3,5,….是由小到大構成一個無窮等差數列{2n-1}.
故③正確.
④由③可知f(x)在x∈[0,1]時單調遞減,且0≤f(x)≤3,
則函數y=f(x)與y=|x|的圖象在x∈[0,1]上有且只有有一個交點,即方程f(x)=|x|在x∈[0,1]上有且只有一個根,設為x1
由于函數f(x)是定義在R上的偶函數,所以f(-x1)=f(x1)=|-x1|,即-x1也是方程f(x)=|x|的一個根.
同理,方程f(x)=|x|分別在x∈[1,2]、[2,3]上各有一個根,設為x2,x3;易知,方程f(x)=|x|分別在x∈[-2,-1]、[-3,-2]上亦各有一個根,且為-x2,-x3
在x∈(3,4]上,0<f(x)≤3,而3<|x|,故方程f(x)=|x|無根.
綜上可知:方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上共有6個根.因此④不正確.
綜上可知①、③正確.
點評:此題綜合考查了函數的單調性、奇偶性、周期性及方程的根,等差數列等知識;還考查了數形結合的思想方法.
練習冊系列答案
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1
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1
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