Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)

【解析】

(1)連接交于，連接，由三角形的中位線(xiàn)得，然后證明平面；

(2)以為原點(diǎn)，以向量所在直線(xiàn)為軸，過(guò)作的垂線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，利用向量的數(shù)量積求解即可.

(1)連接交于，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以為的中點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面；

(2) 以為原點(diǎn)，以向量所在直線(xiàn)為軸，

過(guò)作的垂線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

則,

因?yàn)?/span>，所以，，

則，

在中：可知：，

又因?yàn)?/span>為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，

設(shè)平面的法向量為，則

即令，則，，

即，

又因?yàn)槠矫?/span>的法向量，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

則，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為