Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＝(n－1)S_n＋2n(n∈N^*)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若p，q，r是三個(gè)互不相等的正整數(shù)，且p，q，r成等差數(shù)列，試判斷a_p－1，a_q－1，a_r－1是否成等比數(shù)列？并說明理由．

Answer 1

解析：(1)∵a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＝(n－1)S_n＋2n，

∴當(dāng)n＝1時(shí)，有a₁＝(1－1)S₁＋2，解得a₁＝2.

由a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＝(n－1)S_n＋2n，①

a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＋(n＋1)a_n＋1＝nS_n＋1＋2(n＋1)，②

②－①得：(n＋1)a_n＋1＝nS_n＋1－(n－1)S_n＋2.③

由③式得：(n＋1)a_n＋1＝nS_n＋1－(n－1)S_n＋2＝n(S_n＋1－S_n)＋S_n＋2，

得a_n＋1＝S_n＋2.④

當(dāng)n≥2時(shí)a_n＝S_n－1＋2，⑤

⑤－④得：a_n＋1＝2a_n.

由a₁＋2a₂＝S₂＋4，得a₂＝4，

∴a₂＝2a₁.

∴數(shù)列{a_n}是以a₁＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

∴a_n＝2ⁿ.

(2)∵p，q，r成等差數(shù)列，

∴p＋r＝2q.

假設(shè)a_p－1，a_q－1，a_r－1成等比數(shù)列，

則(a_p－1)(a_r－1)＝(a_q－1)²，

即(2^p－1)(2^r－1)＝(2^q－1)²，

化簡得：2^p＋2^r＝2×2^q.(*)

∵p≠r，

∴2^p＋2^r＞2＝2×2^q，這與(*)式矛盾，故假設(shè)不成立．

∴a_p－1，a_q－1，a_r－1不是等比數(shù)列．