Question

如圖，在四棱錐P=ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，面PAD⊥面ABCD，四邊形BCDE為矩形∠PAD=60°，PB=2

3

，PA=ED=2AE=2．
（Ⅰ）已知

PF

=λ

PC

（λ∈R），且PA∥面BEF，求λ的值；
（Ⅱ）求證：CB⊥平面PEB．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM，利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合比例線段，即可求λ的值；
（Ⅱ）證明CB⊥平面PEB，只需證明CB垂直于平面PEB內(nèi)的兩條相交直線．

解答： （Ⅰ）解：連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM．
∵PA∥面BEF，
∴FM∥AP                …（2分）
∵EM∥CD，∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

∵FM∥AP，
∴

PF

FC

=

AM

MC

=

1

2

∴λ=

1

3

       …（6分）
（Ⅱ）證明：∵AP=2，AE=1，∠PAD=60°，∴PE=

3

，
∴PE⊥AD…（8分）
又面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
∴PE⊥面ABCD，∴PE⊥CB，
又BE⊥CB，且PE∩BE=E，
∴CB⊥平面PEB．   …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的性質(zhì)，考查線面垂直的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．